【Unity】ゲームにおける行列の勘所をまとめてみた

3Dゲームの計算では行列がよく出てきます。
が、行列について調べると用語や計算方法ばかり出てきて、いつのまにか目的を見失いがちです。

ゲームに使う部分だけであれば行列はそんなに難しくないのでこの記事でまとめてみます。

ゲームにおける行列の使われ方
平行移動行列を作ってみる
いろんな変換行列を作る
座標変換行列から移動値を得る
座標変換行列からスケール値を得る
W値の意味とベクトルの変換
座標変換行列から変換後のXYZ軸の向きを表すベクトルを得る
変換後の軸のベクトルから座標変換行列を作る
回転行列を転置すれば逆行列が得られる
参考

ゲームにおける行列の使われ方

行列自体はただのグリッド状の数字の羅列です。

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また、3D空間の座標はたとえば(1, -1, 2)のように、3次元のベクトルで表されます。
これは見方を変えれば1行×3列の行列としてみることができます。
（正確には4列として扱いますがこれは後程説明します）

f:id:halya_11:20180301191142p:plain

次に、ゲームではよく変換行列という行列が使われます。これは例えば「X軸方向に2動かす」という情報が含まれた行列です。
これを先ほどの座標の行列(1, -1, 2)に掛け合わせることで、X軸方向に2動かした座標が得られます。

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このようにゲームでは座標を変換するために行列を使います。

平行移動行列を作ってみる

実際に座標を移動させるための行列を作って移動させてみます。移動させるための行列は次のように作ることができます。

X軸方向にTx、Y軸方向にTy、Z軸方向にTz動かしたいとき、

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このあたりはこう作るものだと覚えておけばいいと思います。

それでは実際に数値を入れて試してみましょう。

一点注意点で、上の行列式を見ればわかるように、変換行列は4行×4列です。
行列の積は掛けられる側の列数と掛ける側の行数があっていなければいけないので、座標の4つ目の列に1を入れて4列の行列とします。

f:id:halya_11:20180301190418g:plain

行列を計算するとちゃんと移動できました。

いろんな変換行列を作る

このように変換行列は自分で作ることができるのですが、直接行列に値をいれて作る機会は僕はあまりないです。
UnityのMatrix4x4クラスを使うといろんな行列が簡単に作れるので、このやり方を紹介しておきます。

// 変換前の座標
var point = new Vector3(2, 0, 0);

// 移動値
var translate = new Vector3(1, 0, 0);
// 回転値
var quaternion = Quaternion.Euler(new Vector3(0, 90, 0));
// 拡大値
var scale = Vector3.one * 2;
// 行列を生成
var matrix = Matrix4x4.TRS(translate, quaternion, scale);

// 変換前の座標に行列をかける
// 結果は (1, 0, -4)
point = matrix.MultiplyPoint(point);